(۲-۳۳) .
از آنجا که با صرف انرژی متناهی یک نوکلئون را از هسته می­توان خارج کرد، بنابراین پتانسیل چاه مربعی باید دارای عمق متناهی باشد که در رابطه بالا نشان­دهنده عمق چاه می­باشد که در مراجع مختلف روابط مختلفی برای آن ارائه شده است و رابطه­ای که در این مطالعه از آن استفاده شده بصورت زیر تعریف می­ شود

(۲-۳۴)
که درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است.
با جایگذاری پتانسیل رابطه (۲-۳۳) و (۲-۳۴) در رابطه (۲-۳۲) چگالی تراز تک ذره­ای مربوط به چاه مربعی متناهی بصورت زیر بدست می ­آید
(۲-۳۵)
در شکل (۲-۱) برای هسته ^۵۶Fe چگالی تراز تک ذره­ای مربوط به روش نیمه کلاسیکی (روش توماس فرمی) برای چاه پتانسیل متناهی در بازه انرژی رسم شده است
شکل (۲-۱) نمودار چگالی تراز تک ذره­ای نوترونی با بهره گرفتن از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی برحسب انرژی [۱۶]
همانطور که از شکل (۲-۱) مشخص است در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی چگالی تراز تک­ذره­ای نیز افزایش می­یابد در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی چگالی تراز تک ذره­ای کاهش می­یابد و اثرات پیوستگی روی چگالی تراز تک ذره­ای به خوبی در مدل نیمه کلاسیکی نمایش داده شده است.
اشکال عمده چاه مربعی در این است که دارای لبه تیز است در حالی که پتانسیل هسته­ای فاقد لبه تیز بوده و به تدریج صفر می­ شود. پتانسیل نوسانگر هماهنگ نیز بصورت زیر تعریف می­ شود
(۲-۳۶)
که در این رابطه عمق چاه و فرکانس نوسان است. و شکل این پتانسیل بصورت (۲-۲) می­باشد.
شکل (۲-۲) نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ[۲۴]
با جایگذاری رابطه (۲-۳۶) در معادله (۲-۳۲) چگالی تراز تک ذره­ای مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بصورت زیر بدست می ­آید
(۲-۳۷)
این درحالی است که پتانسیل نوسانگر هماهنگ نسبت به چاه مربعی به آرامی تغییر می­ کند و دارای لبه کاملاً تیز نمی ­باشد بطوریکه انرژی جداسازی در آن بی­نهایت می­ شود. از سوی دیگر در یک هسته فاصله بین ترازها یکسان نیست درحالی که در نوسانگر هماهنگ فاصله بین ترازها یکسان است ولی در چاه مربعی این طور نیست.
باتوجه به نکات ذکر شده پتانسیل ابتدایی دیگری بصورت شکل(۲-۳) برای هسته معرفی شده است که یک چاه پتانسیل مربعی بالبه گرد شده است و به آن پتانسیل وودز-ساکسون گفته می­ شود، که به پتانسیل بینابینی نیز معروف است این پتانسیل براساس شکل چگالی ماده هسته­ای برحسب فاصله از مرکز هسته ارائه شده و با رابطه زیر معرفی می­ شود
(۲-۳۸)
که در آن شعاع هسته و پارامتر ضخامت سطح می­باشند و عمق چاه است که بصورت زیر تعریف می شود
(۲-۳۹)
که درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است. پتانسیل وودز-ساکسون در شکل (۲-۳) رسم شده است.
شکل (۲-۳) نمودار پتانسیل وودز-ساکسون بصورت تابعی از فاصله از مرکز هسته[۲۴]
در محاسبه چگالی تراز تک ذره­ای با روش نیمه کلاسیکی برای پتانسیل وودز-ساکسون جمله مربوط به برهمکنش اسپین مدار درنظر گرفته نشده است و همانطور که از معادله (۲-۳۲) مشخص است در روش نیمه کلاسیکی با بهره گرفتن از پتانسیل­های میدان متوسط هسته، چگالی تراز تک ذره­ای بصورت تابعی از انرژی تک نوکلئون­ها تعیین می­ شود.
برای هسته ^۵۶Fe نمودار چگالی تراز برحسب انرژی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون در روش­های نیمه کلاسیکی و روش هموار در شکل (۲-۴) رسم شده است.
شکل (۲- ۴) نمودار چگالی تراز تک ذره­ای نوترونی برحسب انرژی برای پتانسیل وودز-ساکسون خطوط نقطه چین مربوط به روش نیمه کلاسیکی و دیگری روش هموار [۱۶]
همانطور که از شکل (۲-۴) نیز مشخص است برای هر دو مدل روند تغییرات بر حسب انرژی مشابه یکدیگر است یعنی در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذره­ای نیز افزایش می­یابد، در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذره­ای کاهش می­یابد.
چاه پتانسیل برای پروتون­ها و نوترون­ها متفاوت است، البته ترتیب ترازهای انرژی مربوط به آنها تا تراز نوکلئونی ۵۰ یکسان است بعد از این تراز است که تفاوت آشکار می­ شود. چون برای این اعداد نوکلئونی نیروی دافعه کولنی بین پروتون­ها زیاد شده و با نیروی هسته­ای مقابله می­ کند.
بنابراین برای برانگیختگی پروتون­ها علاوه بر پتانسیل­های هسته­ای پتانسیل کولنی نیز بایستی اعمال شود که بصورت زیر تعریف می­ شود
(۲-۴۰) .
با توجه به اینکه پتانسیل کولنی بر خلاف پتانسیل­های هسته­ای دارای مقادیر مثبت می­باشد در نتیجه با اعمال این پتانسیل در محاسبات مقادیر چگالی تراز تک ذره­ای کاهش می­یابد.
از چگالی تراز تک ذره­ای در محاسبه یکی از کمیت­های مهم تعداد حالت­های با انرژی کمتر از استفاده می شود که رابطه بین آنها نیز بصورت زیر است
(۲-۴۱) .
شکل (۲-۵) توصیف خوبی برای مر بوط به هسته ^۲۶Al ارائه می­دهد. در این شکل خطوط پر رنگ به محاسبات تئوری انجام شده مربوط می­ شود و خطوط نازک مربوط به مقادیر تجربی است که از آزمایشات بدست آمده است.
شکل (۲-۵) نمودار تعداد حالتهای با انرژی کمتر از E بر حسب انرژی[۲۵]
چگالی تراز هسته­ای نیز با بهره گرفتن از چگالی تراز تک ذره­ای قابل محاسبه است که در فصل بعد به آن خواهیم پرداخت. در این پژوهش در فصل چهارم به بررسی چگالی تراز تک ذره­ای با بهره گرفتن از مدل نیمه کلاسیکی و با اعمال پتانسیل­های نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون می­پردازیم. همچنین مقایسه­ ای بین نتایج حاصل ارائه خواهد شد.
فصل سوم
چگالی تراز هسته­ای

۳-۱ چگالی تراز هسته­ای و پارامترهای وابسته به آن

با افزایش انرژی برانگیختگی فاصله بین ترازها کاهش می­یابد و ماهیت برانگیختگی­ها بسیار پیچیده­تر می­ شود. بطور کلی چگالی تراز هسته­ای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر بصورت زیرتعریف می­ شود[۲۶]
(۳-۱)
که در آن تعداد کل ترازها با انرژی کمتراز انرژی برانگیختگی در یک هسته می­باشد. بطور کلی چگالی ترازهسته وابسته به انرژی برانگیختگی ، اسپین و پاریته بصورت زیر است
(۳-۲)
که در آن تابع وابستگی چگالی تراز به پاریته، اسپین و انرژی برانگیختگی را نشان می­دهد که با در نظرگرفتن توزیع یکسان برای پاریته مثبت و منفی بجای آن از مقدار استفاده می­ شود. سهم توزیع اسپینی گاز فرمی است که با رابطه زیر تعریف شده است
(۳-۳)
و موجود در این رابطه پارامتر قطع اسپین است که پهنای توزیع اندازه حرکت زاویه­ای گوسی را بیان می­ کند که در بخش­های بعدی بطور کاملتری توصیف خواهد شد.
در مطالعات اولیه روی چگالی تراز هسته­ای، پارامتر چگالی تراز بصورت مستقل از انرژی در نظر گرفته می­شد. سپس یک فرمول وابسته به انرژی با بهره گرفتن از جمله تصحیح میکروسکوپی فرمول جرم بصورت رابطه زیر تعریف شد
(۳-۴)
که در آن پارامتر میرایی است که نشان می­دهد پارامتر چگال تراز چگونه به مقدار حدی خود می­رسد و بصورت رابطه وابسته به عدد جرمی معرفی شده است
(۳-۵)
با بهره گرفتن از روابط (۳-۴) و (۳-۵) پارامتر چگالی تراز بصورت رابطه وابسته به انرژی زیر بدست می آید
(۳-۶)