بردار های و برای مثال هستند(شکل۱-۸ - ب). حال فاکتور هندسی یعنی ، پس از جایگذاری ،بر حسب اولین مرتبه q بسط داده می شود:

با توجه به اینکه می توان نوشت:
(۱-۲۹)
و بسط پیرامون نقطه نتیجه می دهد:
(۱-۳۰)
مشاهده می شود که دو نتیجه در یک علامت متفاوتند. می توان متغیری مانند α معرفی کرد که برای ،۱- = α و برای ، ۱= α باشد. غالبا α راکایرالیتی^[۷۳] الکترون های دیراک می نامند.
به این ترتیب هامیلتونی در انرژی های پایین را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:
(۱-۳۱)
در نتیجه پراکندگی انرژی عبارت است از:
(۱-۳۲)
بنابراین انرژی در همسایگی نقاط k و k‘ بر حسب q به صورت خطی تغییر می کند و تنها با یک پارامتر یعنی سرعت فرمی^[۷۴] () نشان داده می شود]۷[. این سرعت به چگالی حامل ها وابسته است. بنابر این در نقاط تماس پراکندگی انرژی به صورت خطی به بردار موج وابسته است و چگالی حالت ها به صورت زیر به انرژی مربوط می شود:
یعنی چگالی حالت ها خطی است و بنابر این در انرژی صفر، صفر می شود]۴۰[.
رفتار خطی گرافن کلید بسیاری از ویژگی های منحصر به فرد آن است، زیرا آن را به پدیده های نسبیتی مرتبط می سازد. می دانیم که پراکندگی انرژی ذرات نسبیتی از معادله دیراک به دست می آید:
(۱-۳۳)
اگر در این رابطه جرم را صفر قرار دهیم، وابستگی انرژی خطی شده و رابطه ای مشابه با رابطه انرژی در گرافن بدست می آید، با این تفاوت که در آن جا سرعت فرمی، نقش سرعت نور را بازی می کند:
(۱-۳۴)
به همین دلیل الکترون های کم انرژی در گرافن مانند فرمیون های بدون جرم دیراک رفتار می کنند. گرافن اولین ماده ای است که فرمیون های دیراک را در دو بعد فراهم می کند و لذا در فیزیک ماده چگال بسیار حائز اهمیت است.
حال تابع موج را در حد انرژی های کم بررسی می کنیم. تابع موج کل را با ترکیب روابط ۱-۳ و ۱-۴ می توان به شکل زیر نوشت:
(۱-۳۵)
که در آن و .
مشاهده می شود که تابع موج یک ترکیب خطی از دو بخش مربوط به جایگاه های A و B است .در حد انرژی های کم، بردار موج k تنها مقادیر نزدیک به K و K’را می گیرد. لذا عمومی ترین شکل تابع موج در این شرایط شامل یک ترکیب خطی به صورت زیر است]۳۷[:
۱-۱۰- روش های ساخت گرافن
(۱-۳۶)
همانطور که ذکر شد گرافن ماده ای دو بعدی است که به دلیل ضخامت اتمی و ویژگی های عالی و نیز کاربردهای روز افزونش، یکی از نوید بخش ترین مواد در صنعت آینده نانوالکترونیک به شمار می رود. امروزه روش های بسیار متنوعی برای ساخت گرافن بکار برده می شود که از متداولترین آنها می توان به روش های لایه برداری مکانیکی، لایه برداری شیمیایی، رسوب بخار شیمیایی^[۷۵] (CVD)، روش کاهشی^[۷۶]، سونش^[۷۷]، پخش گرافن در محلول، سنتز سنتی، آلی و شیمیایی^[۷۸] را نام برد.
برخی روش های دیگر مانند شکافتن نانولوله های کربنی و ساخت امواج با ماکروویو نیزاخیرا بکار برده شده اند.
این تنوع کارکردهای گرافن، سیستمی ایده آل را برای ساخت نانوقطعات^[۷۹] و حتی مدارهای نانویی^[۸۰] فراهم می کند.بگونه ای که در آنها گرافن بعنوان یک عضو مشخص با توجه به ویژگی های خود عمل خواهد کرد، به این ترتیب می توان مدارها و وسایلی را بطور کامل بر پایه گرافن ساخت]۴۱[.
۱-۱۱- ساختارهای لبه ای گرافن
مطالعات نظری نشان می دهد که ویژگی های مغناطیسی و الکتریکی گرافن به طور خاصی به ساختار لبه ای آن وابسته است. طیف انرژی فرمیون های دیراک در گرافن تحت تاثیر اثر کوانتومی هال قرار می گیرد و در لبه ها پراکنده می شود. دو نوع ترکیب بندی عمده برای لبه های گرافن وجود دارد، دسته صندلی^[۸۱] و زیگزاگی^[۸۲]. نانو نوارهای گرافنی با لبه های دسته صندلی، وابسته به عرضشان می توانند فلز یا نیمه رسانا باشند. نانو نوارهای زیگزاگی نیز به علت دارا بودن زمان واهلش طولانی اسپین، می توانند در شیرهای اسپینی و دیگر وسایل اسپینترونیک به کار روند.
حامل های بار در گرافن، دارای طیفی بدون گاف انرژی و از نوع دیراک هستند. گرافن طبیعی یک نیمه فلز یا یک نیمه رسانا با گاف نواری صفر است]۲۹ و ۳۱[. حال آنکه نانو نوارهای گرافنی بسته به شکل لبه آنها می توانند خاصیت فلزی یا نیمه رسانا داشته باشند. خواص الکترونی نانو نوارهای گرافنی بوسیله پهنا و شکل لبه ها کنترل می شود]۴۲ و ۴۳[.
همانطور که در شکل (۱-۱۰) مشاهده می شود، در ساختار نواری انرژی گرافن در جهت گیری زیگزاگی، محاسبات نشان می دهد که در این جهت گیری گرافن همواره فلز است و در ساختار نواری انرژی گرافن در جهت گیری صندلی دسته دار، محاسبات نشان می دهد که در این جهت گیری گرافن بسته به عرض لایه می تواند فلز و یا نیمه رسانا باشد.
(الف) (ب)
شکل ۱-۱۰- ساختار نوار انرژی گرافن در دو جهت گیری الف – زیگزاگی ب- آرمچیر
اگرچه این ساختار های لبه ای برای کاربرد بسیار مفید هستند، هنوز این مشکل وجود دارد که بتوان گرافن را با لبه های تعریف شده به کمک روش های سنتی مانند روش های مکانیکی ، کاهش شیمیایی یا سونش تولید کرد. اخیرا اقدامات موفقیت آمیزی در این زمینه گزارش شده است و دانشمندان مختلف نمونه های گرافن با ساختار لبه ای زیگزاگی و دسته صندلی دار را به روش های متفاوتی بدست آورده اند.
فصل دوم: پدیده ابررسانایی
۲-۱- رسانش در فلزات
رسانش فلزی عمدتاً توسط حالت­های کوانتومی واقع در لایه­ی نازکی با انرژی  تعیین می­ شود، چرا که فقط این حالت­ها می­توانند به صورت گرمایی در دمای T برانگیخته شوند. این را می­توان همانند گاز رقیقی از الکترون­ها که به حالت­های خالی بالای  برانگیخته شده ­اند و نیز حفره­های واقع در حالت­های پر پایین  در نظر گرفت. در این توصیف گاز فرمی از فلزات، رسانندگی  در نظریه­ درود^[۸۳] به صورت زیر داده می­ شود:
(۲-۱)
که در آن m جرم مؤثر الکترون­های رسانش است، e- بار الکترون بوده و  طول عمر متوسط حرکت آزاد الکترون ما بین برخوردهایی است که با ناخالصی­ها یا با الکترون­های دیگر دارد.
مقاومت ویژه  توسط معادله ساختاری زیر تعریف می­ شود:
(۲-۲)
بنابراین ، وارون رسانندگی می­باشد، . با بهره گرفتن از فرمول درود می­بینیم که
(۲-۳)
و بنابراین مقاومت ویژه متناسب با آهنگ پراکندگی  الکترون­های رسانش است. در یک فلز نوعی سه نوع ساز و کار عمده­ی پراکندگی وجود دارد. پراکندگی توسط ناخالصی­ها، برهم­کنش الکترون – الکترون و برخوردهای الکترون - فونون. مقاومت کل، جمع سهم­های هر یک از این سه فرایند مستقل پراکندگی است:
(۲-۴) 
هر یک از این طول عمرها بستگی مشخصه­ای به دما دارد.