(۲-۶)

۲-۴-۲- معادله پیوستگی
در قانون دارسی فیزیک جریان آب زیرزمینی با ارتباط دادن سرعت جریان با گرادیان هیدرولیکی به دست آمد. پیوستگی یا بقای جرم، دومین قانون مهم در معادلات آب‌های زیرزمینی است. برای حالت پایدار، طبق معادله پیوستگی مقدار آب وارد شده به یک المان حجمی با مقدار آب خروجی از آن، برابر است. فرض می‌شود‌‌ که چگالی آب ثابت است و در المان حجمی تغذیه یا تخلیه وجود ندارد. مقدار جریان ورودی به المان برابر است با: (شکل ۲-۳).

(۲-۷)
به صورت مشابه برای وجه مقابل جریان خروجی برابر است با­:
(۲-۸)
شکل (۲-۳): جریان ورودی و خروجی از المان حجمی (محمدی، ۱۳۸۶)
حجم خالص جریان ورودی به المان به علت جریان در جهت x به صورت زیر محاسبه می‌گردد:
(۲-۹)
عبارت­های مشابهی برای جهت­های اصلی دیگر، z و y به دست می‌آید. بنابراین حجم کلی آب وارد شده به المان به صورت زیر می‌شود‌‌:
(۲-۱۰)
در شرایط پایدار این معادله بایستی برابر با صفر باشد.
(۲-۱۱)
که این معادله، معادله پیوستگی برای جریان پایدار می‌باشد. با ترکیب قانون دارسی و معادله پیوستگی یک معادله دیفرانسیل جزئی درجه دو به دست می‌آید:
(۲-۱۲)
اگر آبخوان همگن و همسان فرض شود، K غیروابسته به z, y, x شده و معادله ۲-۱۲ به فرم زیر ساده می‌شود‌‌:
(۲-۱۳)
این معادله، با نام معادله لاپلاس شناخته می‌شود‌‌ و معادله حاکم بر جریان آب زیرزمینی در یک محیط همگن و تحت شرایط پایدار می‌باشد که می‌تواند با کمک روش‌های تحلیلی حل شود. در صورت ناهمگن و غیر­همسان بودن آبخوان، معادله ۲-۱۲ نمی‌تواند به صورت معادله لاپلاس در­آید و بایستی از روش‌های حل عددی برای تخمین جواب معادله ‌استفاده شود.
تحت شرایط ناماندگار، مجموع مولفه­های جریان در جهت z ,y ,x برابر با صفر نیست. برای به دست آوردن معادله جریان برای شرایط ناماندگار، بایستی عبارتی معرفی شود که تغییرات در حجم در یک دوره زمانی را نشان دهد. عبارت به دست آمده بسته به محدود و آزاد بودن آبخوان متفاوت است.
برای یک آبخوان محصور، تغییرات در حجم ورودی و خروجی به یک المان، باعث تغییر پتانسیل آب زیرزمینی به علت فشردگی آب و آبخوان می‌شود‌‌. حجم آبی که از واحد حجم آبخوان در اثر یک واحد افت هد به دست می‌آید را ضریب ذخیره ویژه^[۳۹] می­نامند. یک ضریب دیگر که در بعضی مواقع از آن استفاده می‌شود‌‌، ضریب­ذخیره^[۴۰] است که به ­صورت زیر تعریف می‌شود‌‌:
(۲-۱۴)
که در آن b ضخامت آبخوان است. اگر مکعب شکل ۲-۳ را در نظر بگیریم، حجم کلی آب وارد شده به المان در زمان  به علت تغییر سرعت آب زیرزمینی می‌تواند بدین فرم نوشته شود:
(۲-۱۵)
در بازه زمانی  ، پتانسیل آب زیرزمینی در مرکز المان افزایشی به میزان  خواهد داشت. حجم آب ذخیره شده به علت افزایش پتانسیل برابر است با:
(۲-۱۶)
با بهره گرفتن از اصل پیوستگی این دو مقدار بایستی با هم برابر باشند بنابراین:
(۲-۱۷)
با جایگزین کردن  ،  و  از معادلات ۲-۴ تا ۲-۶ و با اضافه کردن ترم q(x, y, t) برای محاسبه جریان ورودی به یا جریان خروجی از آبخوان به عنوان یک تنش خارجی بر روی آبخوان (مثل تغذیه نقطه­ای یا سطحی) معادله حاکم بر جریان سه بعدی آب زیرزمینی در یک آبخوان محصور به دست می‌آید:
(۲-۱۸)
دو فرایند مجزا در یک آبخوان آزاد اتفاق می­افتد. ابتدا، فشردگی آبخوان و آب باعث تغییر در پتانسیل آب زیرزمینی می‌شود‌‌. در اینجا نیز ضریب ذخیره ویژه به تمام المان­ها اعمال می‌شود‌‌. به علاوه افت سطح آب آزاد باعث آبگیری از آبخوان می‌شود‌‌. یک واحد کاهش در محل سطح آزاد باعث آزاد شدن آب از ذخیره به میزان Sy در واحد سطح آبخوان می‌شود‌‌ که Sy آبدهی ویژه^[۴۱] است. آبدهی ویژه اغلب مساوی با تخلخل ویژه،  ، در نظر گرفته می‌شود‌‌. بنابراین معادله برای یک آبخوان آزاد به صورت معادله ۲-۱۹ در می‌آید.
(۲-۱۹)
با در نظر گرفتن استرس­های خارجی q(x,y,t)، معادله حاکم بر جریان سه بعدی آب زیرزمینی در یک آبخوان آزاد به دست می‌آید.
(۲-۲۰)
در عمل ضریب ذخیره محصور در آبخوان آزاد خیلی کوچک­تر از آبدهی ویژه ‌است و در نتیجه از آن صرفنظر می‌شود‌‌ (Segar et al, 1997).
۲-۴-۳- حل معادلات حاکم بر جریان در آب‌های زیرزمینی
حل معادلات به دست آمده در قسمت قبل معمولآً توسط روش‌های عددی انجام می‌شود‌‌. از میان روش‌های عددی، روش‌های تفاضل محدود به علت سادگی نسبی و قابلیت انعطافی که دارند بیشتر مورد توجه قرار می­گیرند. در حل این معادله به روش تفاضل محدود، سیستم پیوسته معادله ۲-۱۸ با یک سری نقطه مجزا در مکان و زمان جایگزین می‌شوند. در طی این روند، یک دستگاه معادلات دیفرانسیلی جبری خطی به دست می‌آید که حل آن‌ها مقادیر هد در نقاط و زمان­های متفاوت را ارائه می‌دهد. بدین منظور از قوانین تفاضل ریاضی برای حل استفاده می‌شود‌‌. رابطه (۲-۲۱) تقریب تفاضل محدود معادله ۲-۱۸ را نشان می‌دهد:
(۲-۲۱)
۲-۴-۳-۱- روش عناصر محدود
در این روش تقریب معادلات دیفرانسیل از طریق انتگرال صورت می­گیرد و حل عددی انتگرال را می‌توان با تقسیم آبخوان به یک سری عناصر به دست آورد و سپس مقدار انتگرال را برای هر سلول حساب نمود. مقادیر هر سلول با توجه به شرایط مرزی با همدیگر ترکیب شده و در نتیجه مجموعه‌ای از معادلات خطی دیفرانسیل مرتبه اول در زمان مورد نظر حاصل می‌شود‌‌ که این مجموعه با بهره گرفتن از روش حذفی گاوس حل می‌شود‌‌. در این روش برخلاف روش تفاضل محدود که از شبکه ­های چهار گوش استفاده می‌شود‌‌، شبکه ‌بندی چند وجهی، که عموماً قسمت­ های شبکه ‌بندی شده مثلثی می­باشند، استفاده می‌شود‌‌. گره­ها موید نقاطی هستند که در آن‌ها پارامترهای مجهولی مانند ارتفاع سطح آب محاسبه خواهد شد. از مزایای این روش این است که انعطاف پذیری شکل عناصر این امکان را را فراهم می­ کند تا بتوانیم مناطقی که شکل هندسی مرزهایشان پیچیده ‌است را به نحوی تحت پوشش مدل در آوریم، اما چون وارد کردن اطلاعات، شماره عناصر، شماره و مختصات گره­ها بسیار وقت گیر است کمتر از این روش استفاده می‌شود‌‌. اساس ریاضی به کار گرفته شده در این روش نسبت به روش تفاضل محدود مشکل تر است در حالی که نتایج حاصل از هر دو روش تفاضل محدود و عناصر محدود معمولاً یکسان می‌باشد (Faust & Mercer, 1980).
۲-۴-۳-۲-روش تفاضلات محدود
ریچاردسن در سال ۱۹۱۰ روش تفاضلات محدود را یکی از راه­های حل تقریبی معادلات دیفرانسیل معرفی نمود. پس از آن شاول و شا این روش را در حل جریان­های آب‌های زیرزمینی در حالت ماندگار به کار بردند و برای بررسی جریان آب‌های زیرزمینی در حالت ناماندگار از تشابه جریان آب در محیط متخلخل و حرارت در محیط هادی (تئوری تایس) استفاده شد و به تدریج با توسعه کامپیوتر، روش تفاضلات محدود در رژیم نامتعادل به کار رفت (عطارزاده، ۱۳۷۰).
اساس روش تفاضلات محدود در حل معادلات دیفرانسیل، جانشین نمودن مشتق­های جزئی یک تابع در هر نقطه با تفاضل­های آن متغیر در فاصله کوتاه و محدود است که در معادله زیر نشان داده شده ‌است:
(۲-۲۲)
اندازه  وکوچک بودن آن بستگی به نوع مسأله دارد. اگر محیط متخلخل را همگن فرض کنیم معادله جریان آب در حالت ناماندگار در این محیط در سیستم سه بعدی به شکل زیر در می‌آید.
(۲-۲۳)
که F(x,y) مقدار تغذیه یا تخلیه در آن نقطه می‌باشد.
بنابراین برای محاسبه  لازم است سیستم پیوسته آبخوان را به شبکه­ هایی با ابعاد  و  تقسیم نمود و همچنین برای محاسبه  بایستی زمان پیوسته را به دوره­ های زمانی یا گام­های زمانی تقسیم نمود.
⦁ مزایای روش تفاضلات محدود