ریاضیدانان، از دیرباز، برای جلوگیری از این گونه اختلاط‌ها و پرش ها، چاره‌ای اندیشیده‌اند و از روش‌های ساده‌ی شماره گذاری مفهوم‌ها و قضیه‌ها، به طور گسترده ای، استفاده می‌کنند که، گاهی (و البته به ندرت) در سایر دانش‌ها هم به کار می‌رود. حالت‌های مختلف و یا مفهوم‌های خانواده‌ای را، که باید مورد بررسی قرار گیرند، از قبل شماره گذاری می‌کنند؛ سپس، به حالت‌های فرعی هر یک از این حالت ها، به نوبه‌ی خود (و گاهی، برای تمایز، به کمک دستگاه شماره گذاری دیگری) شماره می‌دهند. جلو هر قطعه‌ای که بررسی یک حالت فرعی تازه آغاز می‌شود، نشانه‌ای که برای این حالت فرعی در نظر گرفته شده است، قرار می‌دهند. برای نمونه می‌نویسند: II، ۳٫، (که به معنای حالت فرعی سوم از حالت دوم و یا نوع سوم از خانواده‌ی دوم است). و خواننده به خوبی می‌داند که تا این لحظه، به این عنوان عددی برخورد نکرده است و آن چه زیر این عنوان می‌خواند، تنها به همین حالت و حالت فرعی مربوط می‌شود. به خودی خود بدیهی است که این شماره گذاری که بی اندازه مفید است، یک روش بیرونی است؛ اصل مطلب، در این شماره‌گذاری نیست، بلکه در تقسیم بندی روش استدلال‌ها و یا طبقه بندی‌ها است؛ و شماره گذاری مصنوعی ما، تنها می‌تواند گواهی بر این واقعیت باشد.

سرانجام، باید از یک سنت بیرونی و مصنوعی اسلوب ریاضی یاد کنیم که، برای منظور ما، بی اندازه مفید است و چنان ارزش تربیتی نیرومندی دارد که نمی‌توان از آن صرف نظر کرد. منظور من، دقت فوق العاده‌ای علامت‌گذاری‌ها است، که از ویژگی‌های ریاضیات به شمار می‌رود. هر نماد یا علامت ریاضی، معنای معینی دارد؛ تبدیل یک نماد به نماد دیگر و یا جابه جا کردن آن، موجب تحریف می‌شود و، گاهی، مفهوم موضوع مورد بررسی را، به کلی، از بین می‌برد. دانش‌آموزی که هنوز به سخت گیری کافی درباره‌ی صحبت‌های شفاهی یا نوشته‌های کتبی عادت نکرده است، ممکن است، در ابتدا، با نوعی بی توجهی یا پیشنهاد بدون انحراف و محکم معلم ریاضیات برخورد کند که: هر نوشته‌ی ریاضی باید دقت مطلق داشته باشد؛ حتی ممکن است، این سخت گیری ها، به نظرش خرده گیری‌های بی جا بیاید و موجب استهزای او بشود. ولی، خیلی زود و با تجربه‌ی شخصی خود در می‌یابد که، اگر در نوشتن علامت‌های ریاضی دقت کامل را رعایت نکند، باید بلافاصله جریمه‌ی سنگین آن را بپردازد؛ نمی‌تواند مفهوم آنچه را که نوشته است بفهمد و ناچار می‌شود حدس بزند، حدس نادرست می‌زند و، یا پاسخ نادرست به دست می‌آورد و یا امکان حل مسأله را به کلی از دست می‌دهد. در بهترین حالت خود، ناچار می‌شود با صرف نیروی زیاد به عقب برگردد و آن را به صورت درست بازنویسی کند تا بتواند گام بعدی را بردارد.
به این ترتیب، دانش‌آموز قانع می‌شود که رعایت دقت در نوشتن نمادهای ریاضی، به نفع خود اوست و، بنابراین، خود را با آن وفق می‌دهد و، به تدریج، دقت در نمادهای ریاضی، جزو عادت‌های او می‌شود. این عادت به تدریج فضای فکری او را اشغال می‌کند و، سرانجام، منجر به اسلوبی عام برای تفکر او می‌شود؛ سعی می‌کند، چه در صحبت‌ها و چه در نوشته‌های خود، دقیق‌تر باشد؛ به خصوص، دقت زیادی در درست‌نویسی خود پیدا می‌کند و اشتباه‌های املایی، به همان اندازه‌ی اشتباه‌های نمادی در ریاضیات، او را به تشویش می‌اندازد و نگران می‌کند. ما شاهد این وضع هستیم که، وقتی دانش‌آموزان نسبت به نمادهای ریاضی، سخت گیری و دقت لازم را پیدا کنند، خیلی ساده‌تر و سریع تر، اشتباه‌های املایی خود را هم تصحیح می‌کنند. و من نمی‌دانم که، آیا ممکن است کسی که دبیرستان را تمام می‌کند، دارای فرهنگ ریاضی لازم برای گواهی نامه‌ی دبیرستانی باشد، ولی هنوز یاد نگرفته باشد بدون اشتباه بنویسد.
با پایان رساندن این بخش، که به تأثیر تربیتی درس‌های ریاضی بر اندیشه‌ی دانش‌آموزان اختصاص داشت، حیرت طبیعی خواننده را در این باره پیش بینی می‌کنم که، چرا هیچ اشاره‌ای با مسأله‌ی تکامل تفکر دیالکتیکی نکرده ام. به همین مناسبت، لازم می‌بینم، درباره‌ی این موضوع، توضیح کوتاهی بدهم.
مارکس و انگلس با دلیل کافی تأکید می‌کنند که ریاضیات، نه تنها وسیله‌ی پر مضمون و روشن کننده برای قانون‌های تفکر دیالکتیکی است، بلکه در ضمن، به صورتی دائمی و منظم، به تکامل توانایی و مهارت دیالکتیکی ما، در روند تفکر کمک می‌کند. ولی، همان طور که بنیان گذاران مارکسیسم، بارها تکرارکرده اند، این موضوع تا حد زیادی، به ریاضیات «عالی» یعنی ریاضیات با کمیت‌های متغیر مربوط می‌شود. در این جاست که به بررسی ریاضی پدیده‌های طبیعی، جریان‌های صنعتی و دگرگونی‌های زنده‌ی آن‌ها، و نه «اجسام» بی حرکت و ثابت می‌پردازیم. در این جاست که کمیت ها، در بستگی متقابلی که نسبت به هم دارند (مفهوم تابع) مورد بررسی قرار می‌گیرند و نه به صورت مجرد و جدا از هم. عبور از کمیت به کیفیت، سنتز دیالکتیکی بر اساس تضاد و دیگر قانون‌های دیالکتیکی، هرگز پشتوانه‌ای به این حد عینی و قانع کننده، نمی‌توانند بیابند. و این، یکی از دلیل‌هایی بوده است (و البته، در کنار دلیل‌های دیگر) که مقدمه‌ی ریاضیات عالی را، در برنامه‌ی دبیرستانی وارد کرده ایم.
ولی ما هنوز در این باره تلاش می‌کنیم. البته ریاضیات «مقدماتی» هم- که برنامه‌ی اصلی دبیرستانی را تشکیل می‌دهد- مثل هر دانش اصیل و زنده ای، نمی‌تواند شامل عنصرهای دیالکتیکی نباشد. ولی در این جا به صورتی ناقص جلوه می‌کنند و نیروی لازم را ندارند و، در مقاله‌ای که اختصاص به اهرم‌های اصلی تأثیر تربیتی درس‌های ریاضی دارد، نمی‌توان به آن‌ها پرداخت. ولی من در نظر دارم، مقاله‌ای درباره‌ی ضرورت وارد کردن عنصرهایی از ریاضیات عالی در برنامه‌ی دبیرستانی بنویسیم؛ و امیدوارم که در آن جا نشان دهم که، ریاضیات کمیت‌های متغیر، چه نیروی عظیمی برای تربیت تفکر دیالکتیکی دانش‌آموزان به شمار می‌رود. (همان کتاب، ۱۱۲-۹۱)
۳- ۶-۲٫ جنبه‌های اخلاقی و تربیت میهن دوستی
درباره‌ی نقش و اهمیت درس‌های ریاضی در تربیت و پرورش تفکر درست و منظم، بسیار گفته و نوشته‌اند. ولی، درباره‌ی تأثیر آگاهی‌های ریاضی بر شکل گیری خصلت و شخصیت اخلاقی دانش‌آموزان، به تقریب چیزی گفته نشده است. دلیل این امر، معلوم است: دانش ریاضی، به دلیل انتزاعی بودن موضوع خود، نمی‌تواند چنان تأثیر مستقیمی را که، به عنوان مثال تاریخ یا ادبیات، از نظر اخلاقی بر دانش‌آموزان دارد، داشته باشد و نقشی بدون واسطه، در شکل دادن به خلق و خو و احساس آن‌ها به عهده بگیرد. با همه‌ی این ها، نمی‌توان از این جا به این نتیجه‌گیری سطحی تن داد که در کار شکل دادن به شخصیت اخلاقی دانش‌آموز، باید درس‌های ریاضی را، به طور کلی، از قلم انداخت. تجربه‌ی سال‌های طولانی، به من نشان داده است که، یادگیری دانش ریاضی- کم کم و به تدریج- ناگزیر در جوانان تأثیرهایی می‌گذارد که رنگ روشن اخلاقی دارند و، در طول زمان، می‌توانند به مهم‌ترین ‌سیمای اخلاقی آنان منجر شوند. فعال‌تر کردن این جریان و استحکام بخشیدن به نتیجه‌های آن، از وظیفه‌های جدی هر معلم ریاضی است. ولی قبل از همه باید بدانیم که این جنبه‌های اخلاقی کدام‌اند و چه ویژگی‌هایی از ریاضی قادر به پرورش آن‌ها است.
۳-۶-۲-۱٫ درست کاری و حق گویی- در مشاجره‌های عادی و کوته بینانه، هر طرف دعوا از جایی آغاز می‌کند که مسأله‌ی مورد نزاع را بهتر و ساده‌تر به نفع او حل کند و از جست و جوی هر گونه برهانی، برای حل مسأله، به نحوی که به نفع او باشد دریغ نمی‌کند و، در این راه، از همه‌ی قابلیت‌های خود استفاده می‌کند. در ضمن، دو طرف مشاجره، در ارتباط با موقعیت، حالت‌های نابه جا به کار برده می‌شوند و تکیه‌ی بحث بر «استدلال هایی» غیر عینی و نادرست قرار می‌گیرد. این انحطاط در بحث‌های علمی را، همچون وصله‌ی ناجوری، حتی در زندگی برخی از بزرگترین نام آوران دانش هم می‌توان دید؛ و با کمال تأسف، در بین دانشمندان پایین‌تر و درجه دوم تر، پدیده‌ای عادی است.
تنها دانش ریاضی است که از همه‌ی این جنبه‌های نامعقول، مبرا است. دانش ریاضی، هرگز «فرضیه ای» پیشنهاد نمی‌کند که، برای اثبات درستی یا نادرستی آن، نیاز به بحث و مشاجره باشد. تا زمانی که طرحی اثبات نشده باشد، به طور کامل، بیرون از گنجینه‌ی دانش قرار دارد و هیچ کس به ذهنش خطور نمی‌کند، به دفاع از آن برخیزد؛ و اگر ثابت شده باشد، هیچ کس درباره‌ی درستی آن تردید نمی‌کند و، در نتیجه، به ناچار مورد قبول همگان قرار می‌گیرد. ریاضیات، هیچ گونه موقعیت بینابینی را به رسمیت نمی‌شناسد. تنها بی‌سوادان، شیادان و یا بیماران روانی ممکن است به فکر دفاع از یک اثبات ناقص در ریاضیات و بحث درباره‌ی آن بیفتند (از هر سه نوع، گاه به گاه و به خصوص در رابطه با حل مسأله‌های تربیع دایره و تثلیث زاویه، پیدا می‌شوند)؛ ولی این «مدافعان»، بلافاصله، هم آواز و بی رحمانه، از جانب محفل‌های علمی افشا و طرد می‌شوند. هیچ تعصب یا تمایلی و هیچ «به این در و آن در زدنی» نمی‌تواند به موفقیت ریاضیدان کمک کند. روشن است که، این وضع، ناشی از ماهیت و مضمون خود ریاضیات است؛ در حالی که، در مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات هم، امکان (و حتی ناگزیری) این گونه بحث‌ها وجود دارد؛ در زمینه‌های مربوط به تکامل ریاضیات (و برای نمونه، درباره‌ی حق تقدم ها) هم بحث‌هایی با خصلت‌های شخصی و فردگرایانه وجود دارد (که متأسفانه، چندان هم کم نیستند).
هر ریاضیدانی، خیلی زود، به این وضع عادت می‌کند و می‌داند که، اگر جست و جوهای او به هر علتی مغرضانه باشد، و از قبل به جواب یا راه‌حل خاصی دل ببندد و تنها به استدلال‌های موافق آن توجه کند، تمامی تلاش او با عدم موفقیت روبرو می‌شود و هیچ نتیجه ای، جز ناامیدی، به دست نمی‌آورد. این که، استدلال نادرست و یا استدلال ناقص بتواند برای استدلال کننده مفید واقع شود، برای ریاضیدان هیچ معنایی ندارد. به این ترتیب، ریاضیدان به سرعت یاد می‌گیرد که، در دانش او، تنها استدلال‌هایی به درد می‌خورد که درست، عینی و بدون هر گونه شائبه‌ی شخصی باشد؛ او یاد می‌گیرد که تنها با اندیشه‌ای بدون پیش داوری و بدون تعصب می‌تواند به موفقیت دست یابد. ریاضیدان، در هر سطح اخلاقی که باشد، عادت می‌کند که در کار علمی خود، هیچ چیز، جز حقیقت مطلق عینی را، راهنمای خود قرار ندهند.
ولی این جنبه، که به طور طبیعی در ریاضیدان متخصص، به کمال خود می‌رسد، تا حد معینی، موجب تربیت هر غیر متخصص و به خصوص، هر دانش‌آموز هم می‌شود. دانش آموز، خیلی خوب می‌داند که معلم ریاضی را نمی‌توان فریب داد؛ او می‌داند که تسلط بر خود و یا چرب زبانی و خوش سخنی، به او کمک نمی‌کند تا بتواند بی دانشی را به جای دانش و استدلال ناکافی را به جای اثبات کامل و کافی جا بزند. اگر کسی دروغ گو باشد، مربوط به جاهای دیگر است، در ریاضیات مواظب است حرف ناحقی نزند و به اثبات نادرستی تن ندهد.
ولی، همان طور که به طور معمول چنین است، وقتی کسی در محیطی به یک نوع خصلت اخلاقی عادت کند، این عادت، تا حدی، به سایر فضاهای فکری و فعالیت‌های عملی او هم، سرایت می‌کند. درست کاری نظری، که برای ریاضیدان، قانون تغییر ناپذیر تفکر علمی و فعالیت حرفه‌ای (و به خصوص، آموزشی) او به شمار می‌رود، به تدریج بر تمامی زندگی او اثر می‌گذارد و از اعتقادی ذهنی به رفتاری عملی تبدیل می‌شود.
من همیشه به این خصلت علاقه مند بوده ام و، بارها، شاهد تکامل آن در کسانی بوده ام که تحت تأثیر اجتماع‌های جدی علمی و، به خصوص، درس‌های ریاضی بوده اند. چقدر شادی آور است، وقتی که انسان بتواند، به تدریج بر عادت‌های به هم ریخته و نفرت انگیزی غلبه کند که اندیشه‌ی او را مطیع و منقاد منافع کوچک شخصی می‌کنند و او را به دفاع از نظرهایی وا می‌دارند که تنها تأمین کننده‌ی غرض‌های شخصی او هستند. و چقدر، از نظر اخلاقی، ارزشمند است، وقتی که آدمی یاد بگیرد، به حقیقت‌های عینی و به استدلال‌های درست، به عنوان یک ارزش والای روحی و فرهنگی احترام بگذارد و حاضر باشد، هرگونه منافع شخصی را در راه درستکاری و حقیقت گویی فدا کند. و این، وقتی که به مرز خود برسد، از شریف‌ترین ‌و انسانی‌ترین ‌جنبه‌های اخلاقی آدمی است.
۳-۶-۲-۲٫ پایداری و مردانگی- هر کار جدی در زمینه‌ی کسب و تحکیم دانش، در هر رشته‌ علمی که باشد، مستلزم تلاش ذهنی سخت و منظم، پایداری در بر طرف کردن دشواری‌ها و برخورد مردانه با ناکامی هاست؛ بنابراین، چنین کاری، به شرط راهنمایی درست، ناگزیر موجب بروز همین خصلت ها، در دانش آموز، می‌شود: عشق به کار، پشتکار، پافشاری و ایستادگی در دنبال کردن هدف، توانایی تسلیم نشدن در برابر دشواری‌ها و ناامید نشدن در برابر ناکامی ها؛ خود به خود روشن است که این خصلت ها، چه از نظر اخلاقی و چه از نظر اجتماعی، تا چه اندازه، برای شکل دادن و تکامل شخصیت انسانی، اهمیت دارند و، بنابراین، چه وظیفه‌ی بزرگی به عهده‌ی معلم است تا از تأثیر تربیتی درس‌های خود در این مسیر، حداکثر استفاده را بکند. امکان‌هایی که، در این باره، در آموزش دبیرستانی وجود دارند، بسیار متنوع و متعدد است؛ موضوعی در درس‌های دبیرستانی پیدا نمی‌شود که نتوان از آن به عنوان اهرمی برای به حرکت در آوردن این تأثیر تربیتی، استفاده کرد. ولی در این جا، به طور طبیعی، باید به جنبه‌هایی از ریاضیات، به عنوان یک ماده‌ی دبیرستانی بپردازیم که آن را از سایر درس‌های دبیرستانی متمایز می‌کند و، در عین حال، برای پرورش و تکامل پایداری عقلانی و مردانگی آگاهانه دانش‌آموزان- دو خصلت پر ارزش مبارزان آینده می‌تواند مفید باشد.
می‌خواهم یادآوری کنم، در ریاضیات، هدفی که براساس نتیجه‌گیری از یک دستور ریاضی تعیین شده است، روشن و مشخص است. وقتی که مسأله، مربوط به تألیف یک مضمون تاریخی یا ادبی باشد، نمی‌توان لحظه‌ای را نشان داد که دستور کار، به صورتی قطعی و کامل، به پایان رسیده باشد- امکان اضافه کردن، تکمیل و یا بهتر کردن چنین نوشته ای، همیشه، و به طور نامحدود، وجود دارد؛ از طرف دیگر، دانش‌آموز آن صلاحیت و اختیار را در خود احساس نمی‌کند که بتواند، در این باره، نتیجه‌ی کار خود را ارزیابی کند: چه بسا به آن چه که نوشته است و به نظر خودش همراه با موفقیت بوده است، از طرف معلم ارزش صفر داده شود. این نا مشخص بودن و ابهام در ارزیابی کار دانش‌آموزی که، طبق دستورالعمل معینی عمل کرده است، بدون تردید، نوعی تأثیر تضعیفی در قدرت اداری عقل جوانی که هنوز تربیت نشده است، باقی می‌گذارد. ولی، وقتی دستوری درباره‌ی حل یک مسأله یا اثبات یک قضیه داده شده باشد، به گونه‌ای روشن و مشخص، می‌توان لحظه‌ای پایان کار موفقیت آمیز را معین کرد: این لحظه، وقتی فرا می‌رسد که مسأله حل یا قضیه ثابت شده باشد؛ همه‌ی جنبه‌های دیگر کار، یعنی طرح و پیدا کردن راه حل، درستی و دقت نوشته‌ها و غیره، چه از نظر معلم و چه از نظر شاگرد، درجه‌ی دوم به حساب می‌آیند و اهمیتی تعیین‌کننده ندارند. در این جا، کیفیت کار، برای همه، به صورتی یکسان ارزیابی می‌شود: باید حل مسأله صحیح و اثبات قضیه درست باشد. خود دانش‌آموز می‌تواند و باید این توانایی را داشته باشد که به وجود اشتباه‌های منطقی در استدلال‌های خود پی ببرد؛ در حالت حل مسأله، حتی شیوه‌های مشخصی برای بازبینی راه‌حل خود و آزمایش جوابی که به دست آورده است، در اختیار دارد. به سادگی می‌توان فهمید که روشن و مشخص بودن نشانه‌های نتیجه‌گیری درست تا چه حد می‌تواند دانش‌آموز را به ایستادگی وادارد و انگیزه‌ی نیرومندی در پافشاری او برای رسیدن به هدف باشد. همچنین، در این جا، مثل بازی شطرنج و مسابقه‌ی ورزشی، پیروزی قابل لمس است و خود دانش‌آموز هم می‌تواند، با اطمینان کامل و به جای معلم، موفقیت خود را ارزیابی کند.
دومین جنبه‌ای که اختصاص به درس‌های ریاضی دارد و به مراتب عمیق‌تر و مهمتر است، وجود خصلت آفرینندگی، در بسیاری از حالت‌های آن است. در بیشتر رشته‌های دانش، انجام تکلیف ها، با بعضی استثناء‌ها، مستلزم وجود میزان محدود و معینی آگاهی و استعداد است (و در بهترین حالت خود، باید توانایی طرح درست و منظم این آگاهی‌ها را هم داشته باشد)؛ در حالی که، در حل مسأله‌های ریاضی، باید استدلال و داوری خاصی را کشف کرد که ما را به سمت مقصد هدایت کند، و این در واقع، چیزی جز یک عمل آفرینندگی ولو به معنای ضعیف آن- نیست. و درست همین خصلت آفرینندگی و پژوهش گرانه‌ی تکلیف‌های ریاضی است که، بیش از سایر دانش‌ها موجب رشد و تحکیم نیروی فکر و معنوی دانش‌آموزان می‌شود. شادی نجیبانه‌ای که به خاطر یک موفقیت اکتشافی و خلاق، به دانش‌آموز دست می‌دهد، خستگی را از تن او بیرون می‌کند و آثار مشقتی را که به خاطر رسیدن به این موفقیت تحمل کرده است، از بین می‌رود. به دلیل نیرویی که در هدف او وجود دارد، هیچ مشکلی او را متوقف نمی‌کند و با هر موفقیت، پشتکار و پایداری او برای از میان برداشتن دشواری‌ها، استحکام بیشتری می‌پذیرد؛ او یاد می‌گیرد که چگونه، همچون یک مبارز راستین، با ناکامی ها، اشتباه‌ها و حادثه‌ها و شکست‌های موقتی، مواجه شود؛ در برابر دشواری‌ها تسلیم نمی‌شود و سرچشمه و انگیزه‌ی نیروی فکری و اراده‌ی خود را برای رسیدن به آن‌چه که تازه و تازه‌تر است، از دست نمی‌دهد.
۳-۶-۲-۳٫ تربیت میهن دوستی- مسأله‌ی استفاده از درس‌های ریاضی، برای تربیت و تحکیم حس سرافرازی و افتخار نسبت به زادگاه خود و عشق به آن، دشواری‌هایی به همراه دارد که، بیش از همه، به خصلت انتزاعی بودن دانش ریاضی مربوط می‌شود. صاف و ساده باید گفت که ریاضیات، با موضوع و مضمون خاص خود نمی‌تواند به طور مستقیم، وسیله‌ای برای تبلیغ چیزی مثل زیبایی و بزرگی میهن زادگاه دانش‌آموزان باشد و با کمال تواضع، این وظیفه را به عهده‌ی دانش‌های دیگر می‌گذارد.
با وجود این، تمامی کار دانش آموز، در درس‌های ریاضی روی موضوع‌های انتزاعی متمرکز نمی‌شود؛ طرح‌های انتزاعی ریاضیات به تقریب در هر درس به وسیله‌ی مضمون‌های گوناگون مشخص و قابل لمسی، تکمیل و روشن می‌شود. مثل مضمون‌هایی که در موضوع‌ها و مسأله‌ها وجود دارد: آگاهی‌های تاریخی، کاربردهای گوناگون ریاضیات در صنعت و زندگی و غیره. در ضمن، در بسیاری حالت ها، معلم می‌تواند این وسیله‌ی ملموس را، با میدان گسترده‌ای که دارد، به دلخواه خود تغییر دهد و مضمون‌های مورد نظر خود را برای آن انتخاب کند: با بهره گرفتن از این اختیار و آزادی است که معلم باید، با استناد به آمار و واقعیت‌ها، احترام و علاقه‌ی دانش‌آموز را به میهن زادگاه خود استحکام بخشد. در این باره بسیار نوشته شده است که باید متن مسأله‌ها را با مضمونی میهن دوستانه انتخاب کرد. با این روش، هیچ مخالفتی نمی‌توان داشت؛ با وجود این، باید با دقت تمام مواظبت کرد که با طرح مضمون‌های غیر واقع بینانه و یا نادرست و یا با طرح پرسش‌های بی‌جا و غیر طبیعی (که به رابطه‌ی مستقیمی با واقعیت‌ها و آمار مطرح شده ندارند) کار را به ابتذال نکشانید. و در همه‌ی این حالت ها، باید به خاطر داشت که این شیوه، نسبت به ریاضیات، جنبه‌ی بیرونی دارد؛ برای رشد احساس میهن دوستی از درس‌های ریاضی استفاده می‌شود، نه از خود ریاضیات.
آگاهی‌های بسیاری در تاریخ ریاضیات وجود دارد که از جهت ترغیب حس میهن دوستی، بستگی نزدیک‌تری با خود دانش ریاضی دارد. استفاده از زمینه‌های تاریخ ریاضیات، علاوه بر تأثیرهای سودمندی که در این جهت دارد، از این بابت هم ارزش دارد که دانش‌آموزان را، به طور کلی به تاریخ دانش ریاضی علاقه‌مند می‌کند و به آن‌ها امکان می‌دهد تا با موضوع‌های تازه‌ای از خود دانش ریاضی- که در برنامه‌ی درسی آن‌ها وجود ندارد- آشنا شوند و اندیشه‌ی ریاضی خود را تقویت کنند.
تاریخ ریاضیات هر کشوری، جنبه‌هایی دارد که (به خصوص اگر در زمینه‌ی طرح کلی تاریخ مردمی و میهنی باشد) آشنایی با آن‌ها، موجب غرور و افتخار دانش‌آموزان می‌شود. در بین حقیقت‌های تاریخی، دانش‌آموز با حالت‌هایی بر می‌خورد که به کمک آن‌ها می‌تواند دانش ریاضی دبیرستانی خود را ارزیابی کند و آگاهی‌های خود را گسترش دهد. روشن است که خود معلم باید به اندازه‌ی کافی، از تاریخ ریاضی کشور خود (و البته، تاریخ ریاضیات، به طور کلی) آگاه باشد لحظه‌های حساس آن را بشناسد و بتواند ارزش کار هر ریاضیدان و هر موضوع ریاضی را در جهت تکامل این دانش ارزیابی کند، همچنین، معلم باید این هنر را داشته باشد که تاریخ ریاضی و موضوع‌های مربوط به آن را چنان برای دانش‌آموزان روایت کند که حداکثر تأثیر را در آن‌ها بوجود آورد و در ضمن، برای تربیت، احساس سالم افتخار میهنی آن‌ها مفید باشد. (شهریاری، ۱۳۸۰، ۴۰۶-۳۹۸)
۳-۷٫ افلاطون
از جمله اندیشمندان مکتب آرمان گرایی «آریستو کلس» (افلاطون) می‌باشد که در سال ۴۲۸ پیش از میلاد در یک خانواده‌ی متشخص آتنی متولد شد و در سال ۳۴۸ پیش از میلاد درگذشت… .
خارج از مبحث ریاضیات و بیرون از فن شمردن، اندازه گرفتن و وزن کردن، فن دقیق و مبرا از اشتباهی وجود نتواند داشت؛ پس پرورش عمومی و کلی روح مقدم بر هر گونه تخصص فنی و حرفه‌ای باید مبتنی بر مطالعه‌ی ریاضیات باشد. (شاتو، ۱۳۸۸، ۱۰)
اگر ریاضیات می‌تواند پایه واساس تعلیم تربیت کلی باشد از آن جهت است که جنبه‌ی عملی ریاضیات همه چیز را شامل می‌شود. ریاضیات به مثابه‌ی ابزاری همگانی و عمومی است که انطباق دقیق فکر با اشیاء را در هر موردی تضمین می‌کند.
زبان وسیله‌ی بی‌ واسطه‌ی هوش است و ریاضیات خود چیزی جز شکل خاص و بسیار دقیقی از آن نیست که برای تعریف و تعیین شیء بطور کلی مورد استفاده است. (همان، ۱۱)
هیچ کس بهتر از افلاطون متوجه‌ی این نکته نبوده است که ریاضیات در شمار علومی است که اعمال آن همه‌ی موارد عملی را شامل می‌شود؛ نه فقط در قلمرو هنرهای ساختمانی بلکه در فنون نظامی و امور اداری نیز به کار می‌آید. به همین جهت فرا گرفتن آن برای کسانی که زمام امور دولتی را به دست خواهند گرفت ضروری است. اما فایده‌ی علوم ریاضی یعنی ثمراتی که از به کار بردن آن‌ها در امور فنی حاصل می‌شود هر چه باشد، این تحصیلات هدف عالی‌تری دارند و آن این است که موجب می‌شوند روح از وجود خود، از کمال مطلوب خود و از برترین ارزش‌ها آگاه شود. علوم ریاضی که برای هیپیاس اساس تعلیمات پلی‌تکنیک به شمار می‌آمد برای افلاطون مفید‌ترین ‌تمرین جهت پرورش روح فلسفی خواهد بود؛ ریاضیات نه از طریق ره آموزی   برای بهره برداری عملی از آن‌ها بلکه به منظور آموزش و پرورش   و از جهت اثرات فرهنگی که بر مطالعه‌ی آن‌ها مترتب است تعلیم داده خواهد شد؛ هدف اساسی آن‌ها مادی نبوده بلکه تربیتی خواهد بود. (همان، ۱۷)
حقایق ریاضی که برای اثبات هر نوع حقیقت تجربی قابل استفاده است و اگر موجود نبودند هیچ حقیقت عینی وجود نداشت و معرفت قطعی دست نمی‌داد، حاصل تجربه نیست. برعکس این تجربه است که ثبات خود و جنبه‌های عینی خود را مدیون ریاضیات می‌باشد. حقایق ریاضی صرفاً ساخته پرداخته‌ی فعالیت‌های ذهن می‌باشند. قطعیت مطلق، ضروری بودن و کلی بودن آن‌ها ناشی از آن است که از هرگونه تجربه‌ی حسی و ادراک شخصی (ذهنی) مستقل و بی نیاز هستند و تنها به استعانت نوعی ضرورت درونی که معیار فعالیت ذهنی و هوشی می‌باشد منظم شده اند. بنابر این تفکر درباره‌ی دانش ریاضی صفت غیر تجربی و قبلی حقیقت و استقلال روان در ایجاد معلومات را آشکار می‌سازد. کسی که تصور می‌کند منشأ حقیقت ادراک حسی است و منبعث از اشیاء خارج از ذهن می‌باشد و به این ترتیب فراموش می‌کند که بدون اندازه گیری و اصول و تعاریف قبلی ریاضی اشیاء وجود واقعی نتوانند داشت و تصور عینی اشیاء امکان پذیر نمی‌باشد، چنین کسی هر چند در استعمال علائم جبری ماهر باشد از پر ارزش‌ترین ثمره و نتیجه‌ی تعلیم ریاضیات که معرفت روح توسط خود روح و استشعار به فعالیت محض و سازندگی ذهن و لزوم استقلال چنین فعالیتی و شرط هرگونه تصور عینی می‌باشد، بی بهره مانده است. (همان، ۲۰)
استفاده از روش‌های آموزش سقراطی در قلمرو علوم ریاضی که پایه‌ی تعلیمات هیپیاس بود بدان‌ها ارزش تربیتی محض می‌بخشد. بهره‌ای که انسان از فراگرفتن این علوم می‌برد به معلومات ناشی از این تعلیمات یا به موارد استعمال این علوم در زندگی کمتر بستگی دارد تا به سهمی که در تسهیل سیر عقل دارد. آن چه در این علوم بیش از هر چیز دیگر ارزش دارد این است که با اشتغال بدان‌ها می‌فهمیم که حقیقت چیست و از چه راه رسیدن بدان امکان پذیر می‌باشد. وقتی بدین روش تعلیم گرفته باشیم قادر خواهیم بود حقایقی جز آن چه مربوط به علوم ریاضی و علوم تجربی است و به اشیاء عالم خارج تعلق می‌گیرد یعنی موضوع علم خیر و حقیقت ارزش‌ها را درک نماییم. وسیله‌ی رسیدن بدین هدف را دیالکتیک بدست می‌دهد که گرچه صورت دیگری از آموزش و پرورش سوفسطائیان به شمار است، اگر چنان که باید مورد استفاده قرار گیرد، سهم بسزایی در تعلیم و تربیت واقعی دارد. دیالکتیک و ریاضیات هر یک وظیفه‌ی خاصی در اقامه و اثبات حقیقت و در ایجاد توافق بین افکار و اذهان دارند. (همان، ۲۱)
تحصیلات ریاضی که از نظر هیپیاس متوجه‌ی فرا گرفتن صنایع و فنون بود اینجا مقصدی عالی‌تر پیدا می‌کند و به صورت مقدمه‌ی فلسفه‌ روح در می‌آید. (همان، ۲۲)
تحصیلات ریاضی می‌بایست فرصتی برای تغییر جهت ذهن باشد. (همان، ۲۵)
از نظر افلاطون، برای منظم بودن جهان ما اساسی است که ریاضیات کلید آن باشد. در بسیاری از محاورات، ریاضیات مدل مهمی برای افلاطون به منظور فهم معرفت است. گاهی، به ویژه در محاورات کوتاهتر که سقراط در حال بررسی انواع مختلف فضیلت تصویر می‌شود، مدل برخورداری از معرفت همان مدل برخورداری از مهارت یا تخصص است و آن چه مورد بحث است معرفت عملی است. با این همه شرایطی پدیدار می‌شود که از نظر افلاطون همیشه برای معرفت معتبر است. معرفت را می‌توان انتقال داد، و شخص دارای معرفت می‌تواند آن چه را می‌داند توضیح دهد، تبیین کند و توجیح کند. و معرفت مستلزم آن است که ذهن خود را به کار گیرد تا خود درباره‌ی اشیاء فکر کند، نه اینکه دیدگاه‌های دسته دوم را بدون بررسی آن‌ها بپذیرد. در مقابل، باورها، حتی اگر صادق باشند، دسته کم از دو جهت پائین‌تر هستند. آن‌ها را می‌توان با اقناع ایجاد کرد، یعنی با روش‌هایی برای ایجاد اعتقادی که تبیین و توجیه را دور می‌زند و حاصل آن اعتقاد شخص به دیدگاهی بدون فهم آن است. اما شخص دارای معرفت آن چه را می‌داند، می‌فهمد و می‌تواند آن را تبیین کند. در برخی آثار، افلاطون آن را ارائه‌ تبیینی می‌داند که با توصیفی که متخصص می‌تواند از تخصص عملی خود ارائه کند قابل مقایسه است.
اما در جائی که افلاطون بر دو وجه از معرفت تأکید بیشتری دارد، ریاضیات به مثابه‌ی مدل به قوت خود باقی می‌ماند. یک وجه، اندیشه‌ی معرفت به مثابه‌ی نظام ساختارمند و نه فقط انبوهی از اطلاعات، بلکه سامانمند حقایق بنیادی و حقایق دیگری است که از آن‌ها استنتاج می‌شود از نظر افلاطون، این نظام سازی آرمانی را که آرایش آن چه را برای فهمیدن وجود دارد، ممکن می‌سازد، می‌توان در هندسه یافت که توسعه یافته‌ترین ‌شاخه‌ی ریاضی بود که وی می‌شناخت. در هندسه می‌توانیم نقاط آغاز، نتایج به دست آمده و تبیینی شفاف از شیوه‌ی استنتاج آن‌ها را تشخیص دهیم. این معرفت آرمانی در منو و فیدو پدیدار می‌شود، اما در بلند پروازانه‌ترین ‌تظاهر آن در فصل‌های میانی جمهور دیده می‌شود و در آثاری مانند تیمائوس و فیلبوس، می‌بینیم که افلاطون تأکید می‌کند که این ریاضیات است که هرچه را در معرفت ما سامانمند و قابل وثوق است در اختیار ما قرار می‌دهد.
دومین نکته‌ی برانگیزاننده‌ی درباره‌ی ریاضیات همان موضوعات آن هستند. وقتی قضیه‌ی فیثاغورس را یاد می‌گیریم، چیزی را در تفکر خود می‌فهمیم که با نمودارهای خاصی که برای تجسم آن ترسیم می‌کنیم درست (یا نادرست) نمی‌شود؛ هر بی نظمی در این‌ها ربطی به حقیقت ریاضی ندارد. هرچند در عالم تجربه با آن روبرو نمی‌شویم، اما یقینی هستند؛ وقتی آن را ثابت کردیم، می‌دانیم که درست (صادق) است. روشن است که افلاطون به طور عمیق تحت تأثیر این وجه از ریاضیات بود؛ نه فقط می‌توانیم به نتایجی که اثبات می‌کنیم، یقین داشته باشیم، بلکه در می‌یابیم که فقط با اعمال نوع معینی از تفکر انتزاعی است که می‌توانیم آن‌ها را بفهمیم. در می‌یابیم که شواهدی که حواس ما فراهم می‌آورند ربطی به نتایجی که می‌توانیم در فکر خود اثبات کنیم ندارند، و حتی ممکن است با آن‌ها در تضاد باشند. از نظر افلاطون این آغاز حکمت فلسفی است، راهی مستقیم به سوی آنکه خودمان درباره‌ی اشیاء به تفکر بپردازیم. هرچند دیدگاه‌های افلاطون درباره‌ی معرفت متغیر است و گاهی وی فکر می‌کندکه می‌توانیم موضوعات تجربه را بفهمیم، اما افلاطون این اندیشه را دوست دارد که پیشرفت به سوی معرفت به درستی هنگامی آغاز می‌شود که جهان تجربه‌ی خود را بی اهمیت تلقی کنیم و دریابیم که این تفکر انتزاعی است که ایجاد فهم می‌کند. ریاضیات به مثابه‌ی نمونه‌ای عالی از این پیشرفت، بر وی تأثیری قوی دارد. اما هم از نظر موضوعات و هم از نظر شیوه‌ی تفکر آن، ریاضیات خود پست‌تر از تفکری است که افرادی انجام می‌دهند که افلاطون آن‌ها را فیلسوف می‌خواند و از این رو فقط مقدمه‌ای خوب برای آن است. (انس، ۱۳۸۸، ۱۰۵-۱۰۲)
وسیله‌ی ایده آل برای گذر از ظلمت به نور، ریاضیات است.… تفکر ریاضی ذهن را برای توجه به صورت‌های عالی‌تر تفکر آماده می‌کند.… از این رو راه رستگاری، راه درک حقیقت، زیبایی و نیکی از ریاضیات می‌گذرد ریاضیات دریچه‌ی ورود به ذهن خداست. به بیان افلاطون «… هندسه روح را به سوی حقیقت می‌کشاند، و جان فلسفه را می‌آفریند…» از آن رو که هندسه نه به چیزهای مادی، بلکه به نقطه، خط، مربع، و نظایر آن‌ها به عنوان موضوع تفکر محض مربوط می‌شود… از همین روست که افلاطون توصیه می‌کند که شهریار- فیلسوفان آینده تا بیست سالگی تا به سن سی، به مدت ده سال، در پژوهش علوم دقیقه یعنی حساب، هندسه‌ی مسطحه، هندسه‌ی فضایی، ستاره شناسی و موسیقی تعلیم ببینند. (کلاین، ۱۳۸۸، ۳۷-۳۶)
در آرمان شهر افلاطون، آنان که از تربیت بدنی و تربیت موسیقایی خود بهره‌ی ناچیز برده‌اند و درک اندکی نصیبشان شده، در سن بیست سالگی غربال و از بقیه جدا می‌شوند. این عده را برای انجام کارهای نازلی همچون تأمین مایحتاج جامعه از طریق کشاورزی و کسب و کار، روانه می‌سازند. در این میان، دانش‌آموزان ممتاز، در ادامه‌ی تربیت خود، به مدت ده سال به مطالعه‌ی حساب، هندسه و نجوم مشغول می‌شوند. آن دسته از دانش‌آموزان که ریاضیات اعصابشان را به هم ریخته به کار پاسداری گمارده می‌شوند و نخبگان، به مدت پنج سال یعنی تا سی و پنج سالگی رخصت می‌یابند که به افتخار عظیم مطالعه‌ی فلسفه نائل شوند. (استراترن، ۱۳۸۱،۸۱)
۳- ۸٫ روبن هرش
روبن هرش (متولد ۱۹۲۷) ریاضیدان و فیلسوف امریکایی است که در دهه ۱۹۸۰ مکتب انسانگرایی را در فلسفه‌ ریاضیات مطرح کرد. انسان گرایی ریاضیات را یک پدیده‌ی اجتماعی- تاریخی- فرهنگی می‌داند که براساس احتیاجات علوم و زندگی شکل می‌گیرد، اشیاء ریاضی را شبیه پول، کارت دعوت و … موجودی در شعور جمعی و احکام ریاضی را شبیه قانون، مذهب و … مؤلفه‌ای از آگاهی اجتماعی ما تلقی می کند و معتقد است که بدون انسان‌ها، ریاضیاتی وجود ندارد. داستان واقعی و جذاب زیر از نظر فلسفه‌ آموزش ریاضی حاوی نکات بدیع و ارزشمندی در راستای دیدگاه انسانگرایی هرش است. نام دو قهرمان این گفتگو، ایمره و لودویگ، اشاره به نام ایمره لاکاتوش و لودویگ ویتگنشتاین دارد. این دو فیلسوف، با تصور صورت گرایانه از ریاضیات مخالف اند. اولی به ساز و کار کشف در ریاضیات و نقشی که نوعی «ابطال» در پیشرفت ریاضیات دارد توجه دارد، و از این نظر ریاضیات غیر صوری را شبیه علوم تجربی می‌داند. دومی نیز، به خصوص در فلسفه‌ اخیر خود، ریاضیات را نوعی «بازی زبانی» و بنابراین مرتبط با زندگی اجتماعی انسان می‌شمرد.
لیزا از من خواسته بود تا با دوقلوهایی که متقاضی ورود به سال هفتم بودند مصاحبه‌ای انجام دهم. مؤسسه‌ی Santa Fe Preparatory Schooh تمایلی به جذب دانش‌آموزانی که پیش معلم سرخانه درس خوانده‌اند، آن هم بدون اطمینان یافتن از میزان آمادگی آن‌ها برای محیط جدید، ندارد.
لودویگ و ایمره ۵/۹۹ درصد از کل نمره‌ی حساب را کسب کرده بودند اما نوعی پاسخ مضحک نیز در جواب هایشان وجود داشت. به نظر می‌رسید که آن دو قربانی تربیتی سخت می‌باشند. هر دو کت و کراوات پوشیده بودند و رفتارشان نیز بسیار محترمانه بود.
روبن: چرا می‌خواهید به این مؤسسه بیایید؟
لودویگ: مادرمان فکر می‌کند که وقتش رسیده یاد بگیریم چگونه با دیگران برخورد داشته باشیم.
ایمره: فکر می‌کنیم اینجا از مدارس عمومی بهتر باشد.
روبن: نظر خودت در این باره چیست؟
ایمره: خوب است.