(۱-۲۲)
(۱-۲۳)
معادلات (۱-۲۲) و(۱-۲۳) نشان می‌دهند که Pi نباید از حد خود تجاوز نماید و هنگامی که Pi در داخل محدوده خود باشد بوده و تابع کوهن – تاکر همان تابع لاگرانژ خواهد بود. شرط اول که در معادله (۱-۲۱) ارائه شده است، منجر به رابطه زیر می‌شود :
از آنجایی که هزینه کل به صورت زیر است :
پس خواهیم داشت :
بنابراین شرط توزیع بهینه عبارتست از :

(۱-۲۴) i=1,…,ng
عبارت ، تلفات افزایشی انتقال نامیده می‌شود. شرط دوم که در معادله (۱-۲۱) ارائه شده است، منجر به رابطه زیر می‌گردد :
(۱-۲۵)
معادله (۱-۲۵) دقیقا همان قید تساوی است که باید رعایت می‌گردید[۵].
معادله (۱-۲۴) به صورت زیر مرتب می‌شود:
(۱-۲۶) i=1,…,ng
یا :
(۱-۲۷) i=1,…,ng
که در آن Li ضریب جریمه^[۱۰] نامیده می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌گردد:
(۱-۲۸)
بنابراین، اثر تلفات انتقال معرفی یک ضریب جریمه است که مقدار آن به موقعیت جغرافیایی نیروگاه بستگی دارد. معادله (۱-۲۷) نشان می‌دهد که هزینه حداقل هنگامی بدست می‌آید که حاصل ضرب هزینه افزایشی هر نیروگاه و ضریب جریمه آن برای تمام نیروگاه‌ها مساوی باشد.
هزینه تولید افزایشی با معادله (۱-۲) تعیین می‌گردد و تلفات افزایشی انتقال با بهره گرفتن از فرمول تلفات (۱-۱۶) بدست می‌آید و به صورت زیر است :
(۱-۲۹)
با جایگزینی روابط هزینه تولید افزایشی و تلفات افزایشی انتقال در معادله (۱-۲۴) خواهیم داشت:
یا :
(۱-۳۰)
با تعمیم رابطه (۱-۳۱) به تمام نیرو گاه ها، معادلات خطی زیر به صورت ماتریسی بدست می‌آید :
(۱-۳۱)
یا بصورت خلاصه داریم:
(۱-۳۲) EP=D
برای تعیین توزیع بهینه با مقدار تخمین اولیه ، باید معادلات خطی همزمان (۱-۳۲) حل گردند. سپس این فرایند تکراری با بهره گرفتن از روش گرادیان ادامه می‌یابد[۱۰].

۱-۵ روش‌‌های هوشمند چیست؟

در چند دهه اخیر، در الگوریتم‌‌های ابتکاری^[۱۱]، هوشمند و الگوریتم‌‌های الهام گرفته از پدیده‌‌های طبیعی و زیستی، رشد چشم گیری صورت گرفته است. تحقیقات نشان می‌دهد که این روش‌ها به خوبی می‌توانند جایگزین مناسبی برای روش‌‌های موجود در حل مسائل محاسباتی مشکل باشند. تاکنون الگوریتم‌‌های ابتکاری متعددی برای حل مساله توزیع اقتصادی بار مورد استفاده قرار گرفته است. از جمله می‌توان به الگوریتم وراثتی^[۱۲] (GA)، شبیه سازی ذوب فلزات^[۱۳] (SA)، شبکه‌‌های عصبی مصنوعی^[۱۴] (ANN)، جستجوی تابو^[۱۵]، برنامه‌ریزی تکاملی^[۱۶] (EP)، بهینه ساز اجتماع ذرات^[۱۷] (PSO)، بهینه ساز جمعیت مورچگان^[۱۸] (APO) و تکامل تفاضلی^[۱۹] (DE) اشاره کرد[۳].

۱-۵-۱ الگوریتم وراثتی

الگوریتم ژنتیک یا الگوریتم وراثتی به عنوان یک ابزار بهینه‌سازی کارآمد از مزایای قابل ملاحظه‌ای نسبت به روش‌‌های متداول برخوردار است. الگوریتم وراثتی فضای جستجوی متنوعی از پاسخ، شامل متغییرهای پیوسته، گسسته و محدودیت عای غیر خطی را به طور موثری جستجو می‌کند. بدین ترتیب الگوریتم ژنتیک قادر است پاسخ‌‌های مناسبی برای حل مساله در یک زمان محاسباتی قابل قبول بیاید. پاسخ بهینه با بهره گرفتن از یک فرایند تصادفی با کمک جمعیتی از پاسخ‌ها جستجو می‌شود. در این روش، الگوریتم با بهبود جمعیت پاسخ‌ها از نسلی به نسل دیگر به سمت جواب بهینه در فضای جستجو حرکت می‌کند. الگوریتم ژنتیک بر پایه کروموزوم‌ها وتکامل طبیعی آنها بنا شده است. در این روش بر خلاف روش‌‌های تحلیلی و سعی و خطا به جای کار کردن بر روی یک جواب بهینه، بر روی چند جواب که آن را جمعیت^[۲۰] می‌نامند، کار می‌شود. در نتیجه فضای جواب مساله به صورت موثرتری جستجو می‌شود. هم چنین جستجو و عملیات تکاملی بر روی حالت کد شده جوابها که عموماً کدینگ باینری می‌باشد، صورت می‌گیرد. مشخصه خاصی که روش‌‌های مبتنی بر الگوریتم‌‌های ژنتیکی در حل مساله بهینه‌سازی دارند آن است که این روش‌ها بدون داشتن اطلاعات خاص از مساله و یا نیاز به داشتن شرائط خاصی از فضای جواب، کارایی بالایی در حل مساله دارند [۷] و [۹] و [۳] .

۱-۵-۲ بهینه ساز ازدحام ذرات

لگوریتم بهینه‌سازی ذرات (PSO) یک الگوریتم بهینه‌سازی فرا اکتشافی است که از حرکت گروهی پرندگان ( و دیگر حیواناتی که به شکل گروهی زندگی می‌کنند) الگو گرفته است.

۱-۵-۲-۱ مفاهیم اولیه

هر ذره در حال جستجو برای نقطه بهینه است.
هر ذره در حال جابجایی است (در غیر این صورت نمی تواند جستجو کند ).
به دلیل این جابجایی، دارای سرعت است.
الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات بر مبنای حرکت و هوش ذرات
کار می‌کند.
الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات مفهوم تعامل اجتماعی را برای حل مسائل بهینه‌سازی به کار می‌گیرد.
ذرات (پاسخ‌‌های مساله) در فضای جستجو حرکت می‌کند.
هر ذره در هر مرحله، موقعیتی را که بهترین نتیجه را در آن داشته به خاطر می‌سپارد. (بهترین موقعیت فردی هر ذره)
ذرات در گروه ذرات با همیاری می‌کنند. ذرات اطلاعاتی که درباره ی موقعیتی که در آن هستند را با هم تبادل می‌کنند.
حرکت هر ذره به سه عمل بستگی دارد :
موقعیت فعلی ذره.
بهترین موقعیتی که تاکنون ذره داشته است.(Pbest)