بنابر این از معادله (۴-۱-۶) و (۴-۱-۳) نتیجه می‌شود که  با تاخیرهای زمانی  ناهمبسته است.

بطور مشابه داریم:

فرض‌های بکار رفته در فیلتر کالمن
الف- سیستم دینامیک خطی^[۱۲۶]؛ فیلتر کالمن فرض می‌کند که حالت سیستم و اندازه‌گیریها با یک سیستم پویای خطی توضیح داده می‌شوند. وقتی که مساله غیر خطی بود با تکنیکهای خطی سازی، مساله را خطی می‌کنیم.
مدل سیستم^[۱۲۷]؛ مدل سیستم توضیح می‌دهد که حالت درست سیستم طی زمان چگونه نمو پیدا می‌کند. در فیلتر کالمن فرض می‌شود حالت سیستم طبق یک معادله خطی مثل معادله (۴-۱-۱) نمو پیدا می‌کند که در آن حالت درست یک سیستم،  ، در زمان  بستگی به حالت آن در یک دوره قبل،  ، و اختلال  دارد.
مدل اندازه‌گیری^[۱۲۸]؛ اندازه‌گیری درست  ، مشاهدات، در زمان  بصورت خطی به حالت سیستم  بستگی دارد.
فرایند مارکوف^[۱۲۹]؛ در معادله (۴-۱-۱) حالت  در زمان t به دیگر حالتها و اندازه‌گیریها، با فرض اینکه  داده شده، بستگی ندارد. همچنین در معادله (۴-۱-۲) اندازه  با فرض اینکه  داده شده، بستگی به دیگر حالتها و اندازه‌گیریها ندارد.
ب- مشخصات آشوب^[۱۳۰]؛ فیلتر کالمن فرض می‌کند که جزء اخلال در معادله حالت و معادله مشاهدات سیستم همگی متغیر‌های مستقل، با میانگین صفر، نوفه سفید و دارای توزیع احتمالی نرمال هستند. علاوه بر این فرض می‌شود که حالت اولیه سیستم در زمان  مستقل و توزیع نرمال است.
چند مثال از ارائه یک سیستم پویا بصورت حالت-فضا
مثال اول- یک فرایند AR(p) تک متغیره ذیل را در نظر بگیرید:

این فرایند را می‌توان بصورت حالت-فضا ذیل نوشت:
معادله حالت (  ):

معادله مشاهدات (  ):

در این فرایند داریم:

مثال دوم- یک فرایند ARMA(p, q) تک متغیره ذیل را با تعریف  در نظر بگیرید:

می‌توان معادله حالت و مشاهدات این فرایند را بصورت ذیل نوشت:
معادله حالت (  ):

معادله مشاهدات (  ):

استخراج فیلتر کالمن
یک سیستم حالت-فضا با معادلات (۴-۱-۱)، (۴-۱-۲)، (۴-۱-۳) و (۴-۱-۴) را در نظر گیرید؛ به فرض اینکه مشاهدات  به ازاء  داده شده‌اند، هدف بدست آوردن پارامترهای  و  و استنتاج در مورد بردار حالت  است. در اینجا ابتدا به فرض اینکه پارامترهای مذکور از قبل معلوم هستند به توضیح فیلتر کالمن می‌پردازیم سپس به تخمین این پارامترها به روش حداکثرسازی تابع راستنمایی با این فرض که توزیع شرطی  به شرط  و مقادیر گذشنه  و  نرمال است، می‌پردازیم.
فیلتر کالمن یک الگوریتم برگشتی متوالی برای بهنگام سازی بردار حالت با توجه به اطّلاعات گذشته است؛ یا بطور خیلی تکنیکی الگوریتمی برای محاسبه حداقل مربعات پیش‌بینی‌های بردار حالت بر پایه داده‌های مشاهده شده تا زمان t ام بکار می‌رود، یعنی:

ماتریس  میانگین مجذور خطای^[۱۳۱] متناظر با هر یک از این پیش‌بینی‌ها بصورت ذیل است:

فیلتر کالمن این پیش‌بینی‌ها را بصورت برگشتی با ایجاد سری‌های  انجام می‌دهد. پیش‌بینی  بر اساس مشاهدات زمان صفر همان میانگین غیر شرطی  است یعنی،  و ماتریس MSE متناظر با آن بصورت  .
وقتی که مقادیر ویژه ماتریس  داخل دایره واحد قرار گیرند،  در معادله (۴-۱-۱) مانا در کواریانس می‌باشد و میانگین غیرشرطی آن برابر صفر می‌شود. واریانس غیرشرطی  بصورت ذیل است: