باید در نظر داشت که این معادله در حالت دایم به صورت زیر در میآید

که y در این حالت از رابطه زیر تبعیت میکند

بنابراین معادلهی گسسته شده این مساله با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل اینگونه است:

و گسسته شدهی معادلهی اولیه توسط این روش بدین صورت است:

۲.۳.۳- نتایج:
شکل ۹.۳.الف و ۸.۳..ب افزایش ضخامت لایهی مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی را با گذشت زمان با  و  نشان میدهد. شکل ۱۰.۳.الف و ۱۰.۳.ب تغییرات پروفیل سرعت و دما را با تولید و جذب حرارت نشان میدهد. این مساله به ازای H منفی نشاندهندهی جذب حرارت و به ازای H مثبت معرف تولید حرارت میباشد. جذب حرارت در مساله در حقیقت انرژی سیال را کاهش میدهد و برعکس تولید حرارت منجر به افزایش انرژی سیال میشود که این امر به ترتیب منجر به کاهش دما و یا افزایش دما میگردد. این مساله در شکل ۱۰.۳.ب به وضوح نمایانگر است. از طرف دیگر کاهش دما و یا افزایش آن باعث کاهش نیروی بویانسی و یا افزایش آن می شود که این نیرو به کاهش و یا افزایش سرعت منجر میگردد. این امر نیز در شکل ۱۰.۳.الف خود را نشان میدهد. در شکل ۱۱.۳.الف با کاهش ترم تولید حرارت ضریب برش دیواره کاهش مییابد. این مساله بدین خاطر است که با افزایش H حداکثر نیروی بویانسی افزایش مییابد و در نتیجه حداکثر سرعت افزایش مییابد. از طرفی ضخامت لایهی مرزی تقریبا ثابت است بنابراین گرادیان سرعت افزایش مییابد و در نتیجه ضریب برش دیواره افزایش مییابد. در شکل ۱۱.۳.ب نشان داده شده است که نرخ انتقال حرارت دیواره با کاهش H افزایش مییابد که این مساله بواسطهی افزایش گرادیان دما با کاهش H است. همانطور که در شکلهای ۱۱.۳.الف و ۱۱.۳.ب نشان داده شده است. تغییرات H تاثیر عمدهی بر به تعویق انداختن مدت زمان رسیدن جریان سیال به حالت دایم ندارد این درحالی است که مدت زمان رسیدن نرخ انتقال حرارت به حالت دایم را به تعویق میاندازد. شکل ۱۲.۳.الف و ۱۲.۳.ب نشان میدهد که با افزایش زاویه از نقطهی سکون ضریب برش دیواره و نرخ انتقال حرارت دیواره کاهش پیدا میکند و در نقطهی سکون حداکثر مقدار خود را دارد. علت این مساله هم حداکثر بودن گرادیان دما و سرعت در نزدیکی نقطهی سکون است. از طرفی با توجه به جدول ۷.۳ و ۸.۳ افزایش پارامتر جذب و تولید حرارت میزان پایین زنی و بالازنی در نرخ انتقال حرارت و ضریب برش دیواره را افزایش می دهد.
۴.۳- بررسی اثر لزجت متغیر با دما بر جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت
واضح است که ثابت گرفتن لزجت سیال از لحاظ فیزیکی در اکثر قریب به اتفاق موارد صحیح نمیباشد. پس محققین برای پیدا کردن حل فیزیکیتر جریان به جستجوی مدلهایی برای پیشبینی تغییرات لزجت سیال افتادند. از طرفی با توجه به تغییرات شدیدتری که لزجت سیال با تغییرات دما نسبت به سایر پارامترها از خود نشان میدهد، در بیشتر مدلهای در نظر گرفته شده تغییرات لزجت با دما را مورد بررسی قرار دادهاند. در نهایت مدلهای متفاوتی برای مدلسازی لزجت متغیر سیال در نظر گرفته شده است. که این مدلها بسته به نوع سیال و خواص فیزیکی آن با هم متفاوت هستند. از جملهی این مدلها میتوان به مدل تغییرات نمایی لزجت با دما که در پژوهشهای ]۶۴-۶۸[ و یا مدل تغییرات خطی لزجت با دما که در ]۶۹-۷۵[ بکار گرفته شده است اشاره کرد. مدل پرکاربرد دیگری که تغییرات لزجت با دما را به خوبی نشان میدهد و در اکثر پژوهشها از آن استفاده شده است، مدل تغییر لزجت با تابع معکوس خطی تغییرات دما است. در حقیقت با این تقریب معادلات جریان سیال در حالت فیزیکیتر مدل میگردد. حال اثر لزجت متغیر بر جریان جابجایی آزاد اطراف کرهی همدما مورد مطالعه قرار گرفته است.
۱.۴.۳- مدلسازی ریاضی جریان:
در حقیقت فرضی که به فرضیات حالت گذرا اضافه میشود اینگونه است:

• • تمامی خواص سیال بجز لزجت، ثابت در نظر گرفته میشوند.

در این بخش به اثر لزجت متغیر پرداخته میشود با توجه به کاربرد گستردهی مدل تغییرات لزج با تابع معکوس خطی با دما برای جریان سیال در این بخش از مدل مذکور استفاده شده است.
اثر تغییر لزجت با دما را به واسطهی تابع زیر تعریف میکنیم: